Pochodna funkcji w praktyce

Czym jest pochodna?

Z definicji pochodna jest granicą ilorazu różnicowego gdy przyrost zmiennej x (czyli inaczej ∆x) dąży do zera. Co to oznacza? Najłatwiej jest zrozumieć pochodne przyglądając się ich geometrycznej interpretacji.

Weźmy za przykład fragment pewnej funkcji. Postępując krok po kroku dowiedzmy się czym jest pochodna:

1) Oznaczmy na funkcji punkt x₀ tak jak na rysunku, następnie poprowadźmy linie pomocnicze i oznaczmy wartość jaką funkcja przyjmuje dla tego punktu.

2) Następnie podobnie oznaczmy punkt x i jego wartość, przy czym musi on być różny od x₀. W celu łatwego odczytania można narysować go w większej odległości niż na animacji.

3) Jak na rysunku poprowadźmy prostą przez punkty przecięcia linii pomocniczych. Będzie ona sieczną wykresu.

4) Zaznaczmy kąt jaki utworzyła ta sieczna z osią x.

Kąt ten ma taką własność, że jego tangens(tg) jest ilorazem różnicowym:

5) Poprowadźmy inną prostą, styczną do punktu przecięcia linii poprowadzonych od x₀ i f(x₀). Prosta ta będzie determinować granicę ilorazu różnicowego z punktu 4.

6) Powstały między osią x a prostą kąt nazwijmy α₀; Jego tangens jest granicą ilorazu różnicowego z punktu 4:

Mamy już zobrazowaną definicję pochodnej. Dla przykładu obliczmy pochodną funkcji f(x)=x² w punkcie x₀:

Na początku w liczniku ułamka od razu możemy zapisać wartości funkcji f(x)=x² dla argumentów x i x₀. Następnie by skrócić ułamek można było zastosować 3 wzór skróconego mnożenia. Za x podstawiamy x₀ (x dąży do x₀).

Pochodne w matematyce możemy oznaczać znakiem ‚ np. f'(x₀). Inne oznaczenia to df/dx, D_xf albo y’.

Pochodna funkcji f(x) w punkcie x₀ jest wartością jaką przyjmuje funkcja pochodna, czyli f'(x) dla argumentu x₀.

Sposób obliczania funkcji z definicji wydaje się prosty, ale dlatego, że była to prosta funkcja. W celu obliczania pochodnych funkcji w praktyce stosuje się gotowe wzory:

1) (xⁿ)’ = n*x^n-1
2) (√x)’ = (x^½)’ = ½x^-½ = 1 / 2√x
3) (1/x)’ = (x^-1)’ = -1*x^-2
4) (sinx)’ = cosx
5) (cosx)’ = -sinx
6) (tgx)’= 1/cos²x
7) (ctgx)’= 1/sin²x
8) (c)’ = 0 ; c – constans [c jest wartością stałą (nie zmienną)]
9) (lnx)’ = 1/x
10) (log_ax)’ = 1/x*ln*a

Dodatkowo przydają się wzory działań na pochodnych:

11) [f(x)+g(x)]’ = f'(x)+g'(x)
12) [f(x)*g(x)]’ = f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)
13) [f(x)-g(x)]’ = f'(x)-g'(x)
14) [f(x)/g(x)]’ = [f'(x)*g(x)- f(x)*g'(x)]/[g(x)]²
15) [f(g)]’ = f’ * g’

Przykład 1

Zadanie: Wykaż, że światło odbijające się od płaskiego zwierciadła biegnie po takiej drodze, że czas potrzebny na jej przebycie jest najkrótszy.

Zaczniemy od narysowania rysunku pomocniczego do zadania:

1) Rysujemy ramy tak jak na animacji
2) Zaznaczamy punkty A i B i odcinki oznaczające drogę światła. Korzystamy z zasady: „Kąt odbicia jest równy kątowi padania”.
3) Zaznaczamy odpowiednie kąty tak jak na animacji.
4) Podobnie zaznaczamy potrzebne wielkości fizyczne.
h₁, h₂ – wysokości punktów A i B
s₁, s₂ – droga światła od A do zwierciadła i od zwierciadła do B

gdzie v₁ i v₂ są prędkością światła

Posiadając takie dane z łatwością możemy wyprowadzić pochodną t'(x).

Policzmy oddzielnie pochodne:

Zauważ że x²+h² pod pierwiastkiem to funkcja złożona (funkcja z funkcji) Dlatego należy zastosowac wzór pochodnej funkcji złożonej.

Analogicznie obliczamy drugą część pochodnej:

  

Jako, że v₁ i v₂ to prędkości światła, możemy zapisać je jako c.

Cała pochodna t'(x) wynosi:

Przyjżyj się rysunkowi. Czym jest ta pochodna? Okazuje się, że:

Korzystając z twierdzenia, że kąt odbicia jest równy kątowi padania wnioskujemy, że kąty α i β mają równe miary (co za tym idzie takie same sinusy) co oznacza, że pochodna ta zawsze będzie równa 0.

Gdy pochodna funkcji jest równa 0 możemy sprawdzić czy to ekstremum korzystając z drugiej pochodnej.(pochodnej z pierwszej pochodnej) Gdy jest ona większa od 0 jest to minimum a gdy mniejsza to maksimum. Gdy jest równa 0 jest to punkt przegięcia.

Jako, że wysokości h₁, h₂ i odległości x i L-x są większe od 0 (inaczej odbicie światła nie miałoby sensu) to druga pochodna jest dodatnia.

Przykład 2

Zadanie: Jaki promień powinna mieć puszka o objętości 54π aby przy jej produkcji zużyć jak najmniejszą ilość blachy?

Wzór na objętość walca to V = πr²h

Wyliczamy wysokość:

Wzór na pole powierzchni walca będzie następujący:

Przekształcamy go w taki sposób by był w postaci ilorazu:

Otrzymaliśmy funkcję zależności Pola powierzchni od promienia:

Dziedzina tej funkcji to r∈(0,+∞)

Obliczamy teraz pochodną tej funkcji:

1) Korzystamy ze wzoru na iloraz funkcji:

2) Wyliczamy pochodne z pozostałych funkcji:

3) Zastanówmy się, kiedy pochodna będzie równa 0? Aby to zauważyć musimy ją przekształcić, tak by jeden czynnik decydował o wartości 0:

Jako że r musi być liczbą dodatnią (wynika to z dziedziny funkcji) jedyne r dla którego funkcja pochodna będzie równa 0 to r=3. Czy jest to rzeczywiście minimum tej funkcji? Aby tego dowieść trzeba zbadać okolicę punktu r=3.

Dla r<3 pochodna przyjmuje wartości ujemne a dla r>3 dodatnie. Oznacza to, że w tym miejscu jest minimum. Ponad to jest to wartość minimalna funkcji (funkcja dla argumentów większych od r=3 jest stale rosnąca a dla mniejszych stale malejąca).

Argument r=3 jest więc poszukiwanym promieniem.

Jeśli pochodna funkcji w punkcie jest równa 0 to ten punkt może być ekstremum (minimum, maksimum – nie mylić z wartością minimalną/maksymalną całej funkcji) lub punkt przegięcia.

Minimum występuje gdy po obu stronach od badanego punktu funkcja ma większe wartości (po lewej stronie malejąca a po prawej rosnąca).

W przypadku maksimum jest na odwrót, natomiast punkt przegięcia wystąpi gdy po jednej i po drugiej stronie od punktu jest malejąca lub rosnąca.

Jaki promień wyszedłby gdyby walec miał objętość 16π?

wynik

r=2

Potrafisz obliczyć jaki powinien być stosunek r/h by przy jak najmniejszym polu powierzchni walca objetość była jak największa?

r/h=1/2

Przykład 3

Zadanie: W odległości x przed wypukłą soczewką o ogniskowej równej 5cm położono przedmiot P w odległości x od soczewki (x>5). Oznaczmy literą y odległość obrazu Q tego przedmiotu od soczewki. Jaki jest wzór funkcji określającej szybkość zmiany y w zależności od x? Jaka będzie szybkość zmiany jeśli przedmiot ustawimy w odległości 55cm od soczewki, a następnie będziemy zmieniać jego położenie?

Naszkicujmy najpierw rysunek obrazujący problem:

Już na lekcjach fizyki w gimnazjum dowiedziałeś się, że ogniskową obliczamy w następujący sposób:

Obliczmy zależność y(x):

Otrzymaliśmy funkcję y(x):

Pochodna jest miarą przyrostu funkcji. Oznacza to, że licząc pochodną w punkcie x₀ liczymy prędkość przyrostu funkcji. To dlatego w punktach będących ekstremami funkcji pochodna przyjmuje wartość 0 – funkcja tam nie jest ani rosnąca ani malejąca.

Obliczmy teraz pochodną tej funkcji. Pochodna ta będzie oznaczać szybkość zmiany y względem x:

Korzystamy z wzoru na iloraz pochodnych:

Wyliczamy pozostałe pochodne:

Pierwsza część zadania zrobiona. Znaleźliśmy funkcję określającą szybkość zmiany y w zależności od x.

Teraz podstawiamy dane z zadania:

Pochodna w punkcie x=55 jest ujemna i jest równa -0,01. Oznacza to, ze jeśli z odległości 55cm od soczewki zmienimy odległość obiektu P o 1cm to odległość obrazu za soczewką od tej soczewki zmieni się o -0,01cm.

Jeśli z tego punktu przybliżymy obiekt o 5cm do soczewki to obraz Q się od niej oddali o 0,05cm. Jeśli przedmiot od soczewki oddalimy o 2cm to obraz zbliży się do niej o 0,02cm.

Co by było gdyby ogniskowa była równa 0,7? Jaka będzie szybkość zmiany y w zależności od x z 55cm? Wynik podaj w zaokrągleniu do części dziesięciotysięcznych. W obliczeniach możesz posłużyć się kalkulatorem.

~0,004

Przykład 4

Pochodne znajdują również zastosowanie w ekonomii. Rozważmy prosty przykład. Niech x ilość kilogramów nasion zasadzanych dziennie w ogrodzie.

Koszt zasadzenia tych nasion wyraża się funkcją:

Ile trzeba dziennie zasadzić kilogramów nasion w ogrodzie, aby koszt zasadzenia był jak najmniejszy?

Kiedy 2x-1 będzie równe 0? Oczywiście gdy x=0,5

Sprawdźmy czy jest to minimum funkcji korzystając z drugiej pochodnej:

Jak wiesz z przykładu drugiego gdy druga pochodna jest większa od 0 w punkcie x₀ (w tym przypadku w dowolnym punkcie), a pochodna jest równa 0 to w tym punkcie jest minimum.

Zobaczmy czy zgadza się to z wykresem funkcji:

Pozioma czarna kreska oznacza oznacza 0 na osi y. W funkcji K(x) na wykresie pominięte zostało „+250” gdyż nie zmienia ono miejsca minimum dla argumentu x a jedynie przesuwa wykres.

Podsumowanie

Mam nadzieję, że moja strona przybliżyła Ci chociaż trochę zagadnienie pochodnych funkcji. Mam tu dla Ciebie kilka zadań, dzięki którym sprawdzisz swe umiejętności.

1) W pewnej fabryce koszt wytworzenia w ciągu jednego dnia x sztuk pewnego dobra oznacza się funkcją: K(x)=0,1x³+675. Ile trzeba wytwarzać sztuk dziennie aby koszt wytworzenia jednego produktu był najmniejszy?

f(x)=(01,x^3+675)/x

x=15

2) Podstawą prostopadłościanu jest kwadrat. Suma długości wszystkich krawędzi jest równa 72cm. Przy jakiej długości krawędzi podstawy bryła ta będzie mieć największą objętość?

Wyprowadź wzór funkcji V(a) gdzie a jest  długością boku podstawy. Jaka jest zależność wysokości od a i od sumy długości krawędzi? Powinno wyjść Ci, że poszukiwana długość to 6 cm – Bryła jest sześcianem !!!

3) Wyznacz pochodną funkcji f(x)=(-1/7x⁴-2x¹¹+3x³+79)

Po wykonaniu obliczeń wyszło -4/7*^3-22x^10+9x^2

 

 

źródło informacji: http://student.krk.pl/